HUKUM KEPLER

1.HUKUM KEPLER

Karya Kepler sebagian dihasilkan dari data-data hasil pengamatan yang dikumpulkan Ticho Brahe mengenai posisi planet-planet dalam geraknya di luar angkasa. Hukum ini telah dicetuskan paman Kepler setengah abad sebelum eyang Newton mengajukan ketiga Hukum-nya tentang gerak dan hukum gravitasi universal. Di antara hasil karya Kepler, terdapat tiga penemuan yang sekarang kita kenal sebagai Hukum Kepler mengenai gerak planet
.

A.    Hukum I Kepler

“Lintasan setiap planet ketika mengelilingi matahari berbentuk elips, di mana matahari terletak pada salah satu fokusnya.”

Kepler tidak mengetahui alasan mengapa planet bergerak dengan cara demikian. Ketika mulai tertarik dengan gerak planet-planet, Newton menemukan bahwa ternyata hukum-hukum paman Kepler ini bisa diturunkan secara matematis dari hukum gravitasi universal dan hukum gerak Newton. Newton juga menunjukkan bahwa di antara kemungkinan yang masuk akal mengenai hukum gravitasi, hanya satu yang berbanding terbalik dengan kuadrat jarak yang konsisten dengan Hukum Kepler.

Perhatikan orbit elips yang dijelaskan pada Hukum I Kepler. Dimensi paling panjang pada orbit elips disebut sumbu mayor alias sumbu utama, dengan setengah panjang a. Setengah panjang ini disebut sumbu semiutama alias semimayor (sambil lihat gambar di bawah ya).

F₁ dan F₂ adalah titik Fokus. Matahari berada pada F₁ dan planet berada pada P. Tidak ada benda langit lainnya pada F₂. Total jarak dari F₁ ke P dan F₂ ke P sama untuk semua titik dalam kurva elips. Jarak pusat elips (O) dan titik fokus (F₁ dan F₂) adalah ea, di mana e merupakan angka tak berdimensi yang besarnya berkisar antara 0 sampai 1, disebut juga eksentrisitas. Jika e = 0 maka elips berubah menjadi lingkaran. Kenyataanya, orbit planet berbentuk elips alias mendekati lingkaran. Dengan demikian besar eksentrisitas tidak pernah bernilai nol. Nilai e untuk orbit planet bumi adalah 0,017. Perihelion merupakan titik yang terdekat dengan matahari, sedangakan titik terjauh adalah aphelion.

Pada Persamaan Hukum Gravitasi Newton, kita pelajari bahwa gaya tarik gravitasi berbanding terbalik dengan kuadrat jarak (1/r²), di mana hal ini hanya bisa terjadi pada orbit yang berbentuk elips atau lingkaran saja.

B.    Hukum II Kepler

“Luas daerah yang disapu oleh garis antara matahari dengan planet adalah sama untuk setiap periode waktu yang sama.”

Hal yang paling utama dalam Hukum II Kepler adalah kecepatan sektor mempunyai harga yang sama pada semua titik sepanjang orbit yang berbentuk elips.

C.    Hukum III Kepler

“Kuadrat waktu yang diperlukan oleh planet untuk menyelesaikan satu kali orbit sebanding dengan pangkat tiga jarak rata-rata planet-planet tersebut dari matahari.”

Jika T₁ dan T₂ menyatakan periode dua planet, dan r₁ dan r₂ menyatakan jarak rata-rata mereka dari matahari, maka

Newton menunjukkan bahwa Hukum III Kepler juga bisa diturunkan secara matematis dari Hukum Gravitasi Universal dan Hukum Newton tentang gerak dan gerak melingkar. Sekarang mari kita tinjau Hukum III Kepler menggunakan pendekatan Newton.

2.HUKUM GRAVITASI NEWTON

Gravitasi adalah gaya tarik-menarik yang terjadi antara semua partikel yang mempunyai massa di alam semesta. Gravitasi adalah kekuatan yang membuat suatu benda selalu bergerak jatuh ke bawah. Dengan tiga prinsip dasar dari hukum pergerakan, Newton dapat menjelaskan dan membuktikan bahwa planet beredar mengelilingi matahari dalam orbit yang berbentuk oval dan tidak bulat penuh. Kemudian Newton menggunakan tiga prinsip dasar pergerakan yang sekarang di kenal sebagai Hukum Newton untuk menjelaskan bagaimana benda bergerak.

Saat ini banyak kisah yang menceritakan bahwa Newton mendapatkan rumus tentang teori gravitasi dan sebuah apel yang jatuh dari pohon. Di kisahkan bahwa suatu hari Newton duduk dan belajar di bawah pohon apel dan saat itu sebuah apel jatuh dari pohon tersebut. Dengan mengamati apel yang jatuh, Newton mengambil kesimpulan bahwa ada sesuatu kekuatan yang menarik apel tersebut jatuh kebawah, dan kekuatan itu yang kita kenal sekarang dengan nama gravitasi.

 Hukum gravitasi Newton mempotulatkan

“ Bahwa tiap benda mengadakan gaya tarik pada tiap benda lain yang sebanding dengan massa kedua benda itu dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak pisah antara mereka.”

 

Gaya gravitasi untuk sebuah partikel bermassa 1 :

Gaya gravitasi pada massa m di permukaan bumi :

 

Contoh soal

Hitunglah gaya tarik 2 bola ,masing masing bermassa 1 kg,bila pusat pusatnya berjarak pisah 10cm?

Penyelesaian

Diket: m₁ = m₂ = 1kg

           R = 10 cm = 0,1

Ditanya F....?

Jawab :

          F =

             =

            =6,67 x 10^-9

3. PENGUKURAN GRAVITASI UNIVERSAL

Fisika modern mendeskripsikan gravitasi menggunakan Teori Relativitas Umum dari Einstein, namun hukum gravitasi universal Newton yang lebih sederhana merupakan hampiran yang cukup akurat dalam kebanyakan kasus.

Sebagai contoh, bumi yang memiliki massa yang sangat besar menghasilkan gaya gravitasi yang sangat besar untuk menarik benda-benda di sekitarnya, termasuk makhluk hidup, dan benda-benda yang ada di bumi. Gaya gravitasi ini juga menarik benda-benda yang ada di luar angkasa, seperti bulan, meteor, dan benda angkasa lainnya, termasuk satelit buatan manusia.

Hukum gravitasi universal Newton dirumuskan sebagai berikut:

Setiap massa titik menarik semua massa titik lainnya dengan gaya segaris dengan garis yang menghubungkan kedua titik. Besar gaya tersebut berbanding lurus dengan perkalian kedua massa tersebut dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara kedua massa titik tersebut

Keterangan :

F          : gaya gravitasi antara kedua massa titik tersebut (N)

G         : konstanta gravitasi (6,67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²)

m₁        : besar massa titik pertama (kg)

m₂        : besar massa titik kedua (kg)

r           : jarak antara kedua massa titik (m)

Catatan:

1)      F12 adalah gaya gravitasi yang dialami oleh benda m1 yang dikerjakan oleh m2. F12 merupakan gaya aksi dan F21 adalah gaya reaksi, jadi F12 adalah gaya yang gravitasi yang bekerja pada benda berbeda, mempunyai besar yang sama dan berlawanan arah

2)      Benda dianggap berbentuk bola homogen atau berupa titik materi sehingga r yang digunakan adalah jarak pisah antarkedua benda atau jarak antara pusat suatu benda dengan pusat benda lain.

3)      Garis kerja gaya gravitasi terletak pada garis hubung yang menghubungkan pusat benda pertama dengan kedua

4)      Tetapan gravitasi G, ditentukan secara eksperimen oleh banyak ahli, dimulai pada tahun 1798 oleh Henry Cavendish

4.    PENGUKURAN KONSTANTA G GRAVITASI UNIVERSAL

Untuk menentukan nilai G maka kita perlu mengukur gaya tarikan diantara dua massa yang diketahui. Pengukuran pertama dilakukan oleh Lord Cavendish, 1798. Kemudian diperbaiki oleh poynting dan boys di abad ke XIX.

Kostanta G dapat ditentukan dengan metode penyimpangan maksimal.

Misalkan bola-bola kecil yang masing-masing mempunyai massa sebesar 10 gram dan misalkan tongkat ringan mempunyai panjang 50 cm. Perioda osilasi [puntir dari sistem sebesar 769 detik. Kemudian dua bola besar yang tetap yang masing-masing mempunyai massa sebesar 10 kg  ditempatkan didekat masing-masing bola yang digantungkan sehingga menghasilkan puntiran maksimum .  Penyimpangan sudut dari tokngkat yang digantungkan adalah 3,69 x 10^-3  rad dan jarak diantara titik-titik pusat bola besar dan bola kecil adalah 10 cm. Hitunglah konstanta gravitasi universal G.

Perioda osilasi puntir adalah:  

Untuk halter tegar, jika kita mengabaikan kontribusi dari tongkat ringan,

= (10 gram)(25 cm)² + (10 Gram)(25 cm)² atau

= 1,25 x 10^-3 kg.m²

Denagn T = 769 detik, maka dapat  diperoleh konstanta puntir k sebagai berikut:

                                             

 = 8,34 x 10 ^-8 kg.m²/s²

Hubungan diantara momen kakas  yang dipakaikan dan sudut puntir  adalah   

Nilai k dan nilai  pada penyimpangajn maksimum.

Momen kakas berasal dari gaya-gaya gravitasi yang dikerahkan oleh bola-bola besar pada bola-bola kecil. Momen kakas akan mempunyai nilai maksimum untuk suatu jarak pemisah yang diberikan bila garis yang menghubungkan titik titik pusat bola bola adalah tegak lurus pada tongkat .Gaya pada setiap bola kecil adalah

dan lengan momen untuk setiap gaya adalah setengah dari panjang tongkat (.maka,

momen kakas = gaya x lengan momen.

atau

 

dengan menggabungkan hasil  maka kita mendapatkan =

 

G = 6,67 x 10^-11 N.m²/kg²

Gaya gravitasi yang besar dikerahkan oleh bumi pada semua benda di dekat permukaannya adalah disebabkan oleh massa bumi dari hukum gravitasi universal dan nilai G yang dihitung dari eksperimen Cavendish. Pengukuran G oleh Cavendish telah diulang oleh para pembuat eksperimen lain dengan berbagai perbaikan. Dalam salah satu variasi, timbangan torsi digunakan sebagai osilator, dan periode osilasi, yang tergantung pada gaya tarik massa-massa yang berdekatan diukur. Dalam eksperimen lain, massa-massa yang tarik menariok digerakkan maju mundur mengelilingi timbangan, torsi dalam resonansi dengan osilasi dengan amplitudo getaran diukur. Pada cara lain, G ditentukan dengan mengukur efek massa besar yang menarik salah satu massa dari timbangan karena lengan yang sangat peka. Semua pengukuran G adalah sulit karena tarikan gravitasi yang sangat lemah. Akibatnya, saat ini nilai G diketahui hanya dengan ketidak akuratan  . walaupun G adalah satu konstanta fisika pertama yang pernah diukur, namun rendah akurasinya.

CONTOH SOAL

Massa pada peralatan cavendis adalah m₁= 10kg dan m₂ = 10 g ,jarak pisah antara pusat pusatnya adalah 5cm,dan batang yang memisahkan kedua massa yang kecil panjangnya 20 cm?

(A) Berapakah gaya tarik antara massa yang besar dan massa yang kecil

(B)  Berapa torsi yang harus diberikan oleh gantungan untuk mengimbangi gaya gaya ini?

Penyelesaian

Diket : m₁ = 10kg

            m₂ = 10g = 0,1 kg

              r = 5cm = 0,5m,    d= 20 cm = 2 m

ditanya: (a)  F....?

              (b)  .....?

Jawab :

(a)      

                 

    

    = 26,68 x 10^-11

    = 26,68 x 10^-10 N

(b)  

   = 26,68 x 10^-10 x 2

    = 5,336 x 10^-10 Nm

5. PERCEPATAN GRAVITASI

Percepatan gravitasi di permukaan bumi secara rata-rata dikatakan ekivalen dengan 1 g yang didefinisikan bernilai 9,8 m/s2.  Kenyataannya, nilai gravitasi (g) sedikit berubah dari satu titik ke titik lain di permukaan bumi, dari kira-kira 9, 78 m/s² sampai 9,82 m/s². Beberapa faktor yang mempengaruhi hal tersebut antara lain:

1)         Bumi kita tidak benar-benar bulat, percepatan gravitasi bergantung pada jaraknya dari pusat bumi (planet).

2)         Percepatan gravitasi tergantung dari jaraknya terhadap permukaan bumi. Semakin tinggi sebuah benda dari permukaan bumi, semakin kecil percepatan gravitasi.

3)         Percepatan gravitasi bergantung pada planet tempat benda berada, di mana setiap planet, satelit atau benda angkasa lainnya memiliki gravitasi yang berbeda

Nilai g dapat diukur dengan berbagai metoda. Bentuk-bentuk paling sederhana misalnya dengan menggunakan pegas atau bandul yang diketahui konstanta-konstanqtanya. Dengan melakukan pengukuran dapat ditentukan nilai percepatan gravitasi di suatu tempat, yang umumnya berbeda dengan tempat lain.

Dalam bidang fisika bumi dikenal pula metoda gravitasi yaitu suatu metoda pengukuran perbedaan percepatan gravitasi suatu tempat untuk memperkirakan kandungan tanah yang berada di bawah titik pengukuran. Dengan cara ini dapat diduga (bersama-sama dengan pemanfaatan metoda fisika bumi lainnya) struktur dan juga unsur-unsur pembentuk lapisan tanah yang tersusun atas elemen yang memiliki rapat massa yang berbeda-beda.

6. KUAT MEDAN GRAVITASI

Gaya gravitasi merupakan gaya interaksi antara dua benda atau lebih tetapi benda benda tersebut tidak saling bersentuhan. Hal ini dikarenakan adanya suatu medan gravitasi yang bekerja pada benda tersebut.

Medan dapat didefinisikan sebagai daerah pengaruh dari suatu besaran fisis yang mengerjakan gaya pada entitas yang sesuai bila entitas itu berada dalam daerah itu, dalam hal ini entitas untuk gaya gravitasi adalah massa.

Sedangkan medan gravitasi didefinisikan sebagai ruang di sekitar suatu benda bermassa m di mana benda bermassa lainnya dalam ruang itu akan mengalami gaya gravitasi.

Medan gravitasi sering digambarkan dengan garis-garis medan gravitasi yang merupakan garis bersambungan yang selalu berarah menuju ke massa sumber medan gravitasi itu, sehingga jika garis-garis medan gravitasi itu rapat menunjukkan makin besar medan gravitasinya.

Besaran yang mewakili medan gravitasi adalah kuat medan gravitasi (g) yang didefinisikan sebagai gaya gravitasi per satuan massa pada suatu massa uji M. Kuat medan gravitasi ini disebut juga dengan percepatan gravitasi.

Misalkan gaya gravitasi yang dikerjakan oleh benda bermassa M pada benda bermassa m besarnya adalah:

 Dari definisi kuat medan gravitasi (g) didapatkan:

 Seperti halnya gaya gravitasi, kuat medan gravitasi suatu benda juga dapat dipengaruhi oleh beberapa benda bermassa M sekaligus, dan perhitungannya juga sama yaitu dengan menggunakan kaidah besaran vektor.

  Perbandingan percepatan gravitasi di suatu titik di atas permukaan bumi yang berjarak h (misalkan titik B) dengan percepatan gravitasi di permukaan bumi (misalkan titik A) dapat dihitung dengan :

 

Oleh karena r_B = r_A + h (dimana r = jari-jari bumi) maka:

7. MASSA GRAVITASI DAN MASSA INERSIA

Pengalaman sehari-hari menunjukkan bahwa benda yang lebih berat, untuk mengubah keadaan gerak lebih sulit.  Ini berarti bahwa kualitas tarikan gravitasi objek tersebut semakin besar semakin besar massa inersia, eksperimen menunjukkan bahwa massa gravitasi berbanding lurus dengan massa inersia.

• Massa gravitasi adalah sifat benda yang bertanggung jawab terhadap gaya gravitasi yang dikerjakan pada benda lain.

·         Massa Inersia adalah sifat benda yang merupakan ukuran resistensinya terhadap percepatan.

·         Simbol untuk keduanya sama yaitu m, karena secara eksperimen, massa inersia gravitasi dan massa inersia adalah sama.

Gaya gravitasi pada sebuah benda adalah sebanding dengan massanya. Suatu konsekuensi penting dari kesebandingan ini adalah bahwa kita dapat mengukur sebuah massa dengan mengukur gaya gravitasi pada massa tersebut. Misal jika kita mencoba mendorong sebuah balok yang diam pada sebuah permukkaan horizontal yang tanpa gesekan , maka butuh usaha untuk mengerakan massa tersebut. Balok tersebut kelihatannya lamban dan cenderung untuk tinggal diam atau jika balok tersebut bergerak maka balok tersebut cenderung untuk tetap bergerak. Dalam hal ini gravitasi tidak berperan sama sekali. Usaha yang sama akan dipperlukan untuk mempercepat balok tersebut didalam ruang yang bebas gravitasi. Massa balok tersebutlah yang membuat sebuah gaya yang mengubah geraknya. Massa ini adalah massa yang terdapat dalam massa inersial F= m.a

Sekarang misalkan kita memnrlukan usaha untuk memegang balok tersebut  didalam udara dan dipegang diam diatas bumi. Jika kita tidak menompangnya , maka balok tersebut akan jatuh ke bumi dengan gerak yang dipercepat. Gaya yang diperlukan untuk menahan  balok tersebut adalah sama besarnya   dengan gaya tarikan gravitasi diantara balok tersebut dan bumi. Disini massa inersial tidak berperan  sama  sekali dan hanya gravitasi yang berperan. Sehingga besar gaya tersebut adalah:

Dengan m’ adalah massa gravitasi balok

 Apakah massa gravitasi dan massa inersial besarnya sama..?

Misal : tinjaulah dua partikel A dan B yang mempunyai massa gravitasi m’A dan m’B  dan beraksi partikel ketiga C yang mempunyai massa gravitasi m’ C. Misalkan partikel  C tersebut berada pada jarak r yang sama dari kedua partiel A dan B. Maka gravitasi yang dikerahkan pada C oleh A adalah :

Dan gaya gravitasi yang dikerahkan pada C oleh  B adalah:

 

Perbandingan gaya- gaya gravitasi pada A dan B adalah perbandingan massa –massa gravitasinya,yaitu :

Misalkan benda ketiga adalah C adalah bumi, maka dan  adalah berat benda A dan berat benda B, maka:

Sehingga kita dapat disimpulkan bahwa berat berbagai benda  di tempat yang sama pada bumi, adalah sebanding dengan massa gravitasinya.

Secara eksperimental kita dapatkan bahwa benda-benda yang mempunyai massa-massa inersial yang berbeda semuanya jatuh dengan percepatan g yang sama yang berasal dari tarikan gravitasi bumi. Tetapi tarikan gravitasi bumi pada benda-benda ini adalah berat benda, sehingga dengan menggunakan hukum kedua mengenai gerak maka :

     W_A = m_A.g

     W_B = m_B.g

Dengan mudah dapat kita bayangkan bahwa massa gravitasi dan massa inersia sebuah benda tidaklah sama. Misalkan dituliskan untuk massa gravitasi dan m untuk massa inersial, maka gaya yang dikerjakan oleh bumi pada benda dari di dekat permukaannya adalah

Dengan  adalah massa gravitasi bumi. Jadi percepatan jatuh bebas benda-benda di dekat permukaan bumi adalah.

Contoh Soal

Berat sebuah benda standart yang didefinisikan sebagai benda yang mempunyai massa yang tepat 1kg,diukur sama dengan 9,81N .dalam laboratorium yang sama benda kedua beratnya 56,6N.

a.berapakah massa benda kedua?

b.apakah massa yang anda tentukan dibagian (a) massa gravitasi atau massa inersia ?

penyelesaian

diket:  m₁=1kg

          W₁= 9,81N

          W₂= 56,6N

Ditanya m₂=.......?

Jawab = a.               m2= 5,77 kg

Jawab =

b. massa gravitasi

8.    ENERGI POTENSIAL DAN ENERGI TOTAL GRAVITASI

Energi potensial yaitu Energi yang berhubungan dengan posisi.sedangkan energi potensial gravitasin adalah suatu besaran baru sebagai hasil kali antara gaya berat mg dengan ketinggian y diatas titik pusat koordinat (U).

Sehingga:

U = mgy

 Nilai awal energi potensial dinyatakan sebagai U₁= mgy_1,sedangkan nilai akhirnya adalah U₂ = mgy₂. Perubahan tenaga potensial ∆U dari suatu system dimana di dalamnya beraksi sebuah gaya konservatif (gravitasi). Sewaktu system tersebut berubah dari konfigurasi a ke konfigurasi b, dapat ditulis sebagai:

 

Dimana:

 adalah kerja yang dilakukan oleh gaya konservatif tersebut sewaktu system berubah.tanda negatif didepan W₁₂ memiliki makna yang sangat penting.jika benda naik,maka usaha yang dilakukan oleh gaya berat bernilai negatif,karena arah gaya berlawanan dengan arah perpindahan.namun ketika benda naik,y akan semakin besar,akibatnya energi potensial gravitasi akan bertambah(∆U.Begitu pula sebaliknya,pada saat benda turun,usaha gravitasi positif ,namun karena y berkurang ,maka energi potensial gravitasi juga berkurang (∆U jadi jika W₁₂ positif,maka ∆U negatif , begitu sebaliknya.

Tenaga potensial system di dalam setiap konfigurasi b yang seberang adalah

Energy potensial gravitasi sebuah benda bermassa m pada jarak r dari pusat bumi diberikan oleh

Dimana U=0 saat r =  . Dengan

Jika sebuah benda diberi energi kinetik awal dipermukaan bumi yang lebih besar atau sama dengan , maka benda akan lepas dari bumi. Bila energi potensial gravitasi sama dengan 0 untuk jarak pisah benda-benda tak terhingga, untuk system dua benda pada umumnya yang terdiri dari satu benda bermassa m dan benda lain bermassa M. Perubahan energy potensial bila system bergerak dari jarak pisah r₁ ke jarak pisah r₂ maka

                                                

Dengan r₂ = r   , r_{1 = ,} maka

                                     

Jadi, dengan memilih U sama dengan nol pada r =, didapatkan

Berdasarkan teorima usaha energi, perubahan energi kinetik benda tersebut diberikan oleh:

                                                W_tot = K₂ – K₁

Jika hanya gaya gravitasi yang bekerja pada benda, maka usaha total menjadi:

                                   

Dengan menyamakan kedua persamaan tersebut , maka diperoleh

Persamaan tersebut dapat dituliskan :

                                                K₁ + U₁=K₂ + U₂

Atau

Penjumlahan Energi kinetik dengan energi potensial didefinisikan sebagai energi mekanik total(E). Dengan demikian dapat dikatakan bahwa persamaan di atas merupakan bentuk Hukum Kekekalan Energi untuk sebuah sistem dimana hanya gaya gravtasi yang bekerja.

                                                E=K + U = Konstan

Contoh Soal

Sebuah satelit bermassa 450kg mengelilingi bumi dalam lintasan lingkaran pada jarak 6,83 mm diatas permukaan bumi,carilah

a.energi potensial

b.energi kinetik

c.energi total satelit

penyelesaian

a.jarak antara satelit dan pusat bumi adalah

r  = R_E+h = 6,37 mm + 6,38 mm =13,2

                     = -13,6 GJ

 

 E = K + U= 6,80 + (-13,6) = -6,80 GJ

E = -K

1.HUKUM KEPLER

Karya Kepler sebagian dihasilkan dari data-data hasil pengamatan yang dikumpulkan Ticho Brahe mengenai posisi planet-planet dalam geraknya di luar angkasa. Hukum ini telah dicetuskan paman Kepler setengah abad sebelum eyang Newton mengajukan ketiga Hukum-nya tentang gerak dan hukum gravitasi universal. Di antara hasil karya Kepler, terdapat tiga penemuan yang sekarang kita kenal sebagai Hukum Kepler mengenai gerak planet.

A.    Hukum I Kepler

“Lintasan setiap planet ketika mengelilingi matahari berbentuk elips, di mana matahari terletak pada salah satu fokusnya.”

Kepler tidak mengetahui alasan mengapa planet bergerak dengan cara demikian. Ketika mulai tertarik dengan gerak planet-planet, Newton menemukan bahwa ternyata hukum-hukum paman Kepler ini bisa diturunkan secara matematis dari hukum gravitasi universal dan hukum gerak Newton. Newton juga menunjukkan bahwa di antara kemungkinan yang masuk akal mengenai hukum gravitasi, hanya satu yang berbanding terbalik dengan kuadrat jarak yang konsisten dengan Hukum Kepler.

Perhatikan orbit elips yang dijelaskan pada Hukum I Kepler. Dimensi paling panjang pada orbit elips disebut sumbu mayor alias sumbu utama, dengan setengah panjang a. Setengah panjang ini disebut sumbu semiutama alias semimayor (sambil lihat gambar di bawah ya).

F₁ dan F₂ adalah titik Fokus. Matahari berada pada F₁ dan planet berada pada P. Tidak ada benda langit lainnya pada F₂. Total jarak dari F₁ ke P dan F₂ ke P sama untuk semua titik dalam kurva elips. Jarak pusat elips (O) dan titik fokus (F₁ dan F₂) adalah ea, di mana e merupakan angka tak berdimensi yang besarnya berkisar antara 0 sampai 1, disebut juga eksentrisitas. Jika e = 0 maka elips berubah menjadi lingkaran. Kenyataanya, orbit planet berbentuk elips alias mendekati lingkaran. Dengan demikian besar eksentrisitas tidak pernah bernilai nol. Nilai e untuk orbit planet bumi adalah 0,017. Perihelion merupakan titik yang terdekat dengan matahari, sedangakan titik terjauh adalah aphelion.

Pada Persamaan Hukum Gravitasi Newton, kita pelajari bahwa gaya tarik gravitasi berbanding terbalik dengan kuadrat jarak (1/r²), di mana hal ini hanya bisa terjadi pada orbit yang berbentuk elips atau lingkaran saja.

B.    Hukum II Kepler

“Luas daerah yang disapu oleh garis antara matahari dengan planet adalah sama untuk setiap periode waktu yang sama.”

Hal yang paling utama dalam Hukum II Kepler adalah kecepatan sektor mempunyai harga yang sama pada semua titik sepanjang orbit yang berbentuk elips.

C.    Hukum III Kepler

“Kuadrat waktu yang diperlukan oleh planet untuk menyelesaikan satu kali orbit sebanding dengan pangkat tiga jarak rata-rata planet-planet tersebut dari matahari.”

Jika T₁ dan T₂ menyatakan periode dua planet, dan r₁ dan r₂ menyatakan jarak rata-rata mereka dari matahari, maka

Newton menunjukkan bahwa Hukum III Kepler juga bisa diturunkan secara matematis dari Hukum Gravitasi Universal dan Hukum Newton tentang gerak dan gerak melingkar. Sekarang mari kita tinjau Hukum III Kepler menggunakan pendekatan Newton.

2.HUKUM GRAVITASI NEWTON

Gravitasi adalah gaya tarik-menarik yang terjadi antara semua partikel yang mempunyai massa di alam semesta. Gravitasi adalah kekuatan yang membuat suatu benda selalu bergerak jatuh ke bawah. Dengan tiga prinsip dasar dari hukum pergerakan, Newton dapat menjelaskan dan membuktikan bahwa planet beredar mengelilingi matahari dalam orbit yang berbentuk oval dan tidak bulat penuh. Kemudian Newton menggunakan tiga prinsip dasar pergerakan yang sekarang di kenal sebagai Hukum Newton untuk menjelaskan bagaimana benda bergerak.

Saat ini banyak kisah yang menceritakan bahwa Newton mendapatkan rumus tentang teori gravitasi dan sebuah apel yang jatuh dari pohon. Di kisahkan bahwa suatu hari Newton duduk dan belajar di bawah pohon apel dan saat itu sebuah apel jatuh dari pohon tersebut. Dengan mengamati apel yang jatuh, Newton mengambil kesimpulan bahwa ada sesuatu kekuatan yang menarik apel tersebut jatuh kebawah, dan kekuatan itu yang kita kenal sekarang dengan nama gravitasi.

 Hukum gravitasi Newton mempotulatkan

“ Bahwa tiap benda mengadakan gaya tarik pada tiap benda lain yang sebanding dengan massa kedua benda itu dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak pisah antara mereka.”

 

Gaya gravitasi untuk sebuah partikel bermassa 1 :

Gaya gravitasi pada massa m di permukaan bumi :

 

Contoh soal

Hitunglah gaya tarik 2 bola ,masing masing bermassa 1 kg,bila pusat pusatnya berjarak pisah 10cm?

Penyelesaian

Diket: m₁ = m₂ = 1kg

           R = 10 cm = 0,1

Ditanya F....?

Jawab :

          F =

             =

            =6,67 x 10^-9

3. PENGUKURAN GRAVITASI UNIVERSAL

Fisika modern mendeskripsikan gravitasi menggunakan Teori Relativitas Umum dari Einstein, namun hukum gravitasi universal Newton yang lebih sederhana merupakan hampiran yang cukup akurat dalam kebanyakan kasus.

Sebagai contoh, bumi yang memiliki massa yang sangat besar menghasilkan gaya gravitasi yang sangat besar untuk menarik benda-benda di sekitarnya, termasuk makhluk hidup, dan benda-benda yang ada di bumi. Gaya gravitasi ini juga menarik benda-benda yang ada di luar angkasa, seperti bulan, meteor, dan benda angkasa lainnya, termasuk satelit buatan manusia.

Hukum gravitasi universal Newton dirumuskan sebagai berikut:

Setiap massa titik menarik semua massa titik lainnya dengan gaya segaris dengan garis yang menghubungkan kedua titik. Besar gaya tersebut berbanding lurus dengan perkalian kedua massa tersebut dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara kedua massa titik tersebut

Keterangan :

F          : gaya gravitasi antara kedua massa titik tersebut (N)

G         : konstanta gravitasi (6,67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²)

m₁        : besar massa titik pertama (kg)

m₂        : besar massa titik kedua (kg)

r           : jarak antara kedua massa titik (m)

Catatan:

1)      F12 adalah gaya gravitasi yang dialami oleh benda m1 yang dikerjakan oleh m2. F12 merupakan gaya aksi dan F21 adalah gaya reaksi, jadi F12 adalah gaya yang gravitasi yang bekerja pada benda berbeda, mempunyai besar yang sama dan berlawanan arah

2)      Benda dianggap berbentuk bola homogen atau berupa titik materi sehingga r yang digunakan adalah jarak pisah antarkedua benda atau jarak antara pusat suatu benda dengan pusat benda lain.

3)      Garis kerja gaya gravitasi terletak pada garis hubung yang menghubungkan pusat benda pertama dengan kedua

4)      Tetapan gravitasi G, ditentukan secara eksperimen oleh banyak ahli, dimulai pada tahun 1798 oleh Henry Cavendish

4.    PENGUKURAN KONSTANTA G GRAVITASI UNIVERSAL

Untuk menentukan nilai G maka kita perlu mengukur gaya tarikan diantara dua massa yang diketahui. Pengukuran pertama dilakukan oleh Lord Cavendish, 1798. Kemudian diperbaiki oleh poynting dan boys di abad ke XIX.

Kostanta G dapat ditentukan dengan metode penyimpangan maksimal.

Misalkan bola-bola kecil yang masing-masing mempunyai massa sebesar 10 gram dan misalkan tongkat ringan mempunyai panjang 50 cm. Perioda osilasi [puntir dari sistem sebesar 769 detik. Kemudian dua bola besar yang tetap yang masing-masing mempunyai massa sebesar 10 kg  ditempatkan didekat masing-masing bola yang digantungkan sehingga menghasilkan puntiran maksimum .  Penyimpangan sudut dari tokngkat yang digantungkan adalah 3,69 x 10^-3  rad dan jarak diantara titik-titik pusat bola besar dan bola kecil adalah 10 cm. Hitunglah konstanta gravitasi universal G.

Perioda osilasi puntir adalah:  

Untuk halter tegar, jika kita mengabaikan kontribusi dari tongkat ringan,

= (10 gram)(25 cm)² + (10 Gram)(25 cm)² atau

= 1,25 x 10^-3 kg.m²

Denagn T = 769 detik, maka dapat  diperoleh konstanta puntir k sebagai berikut:

                                             

 = 8,34 x 10 ^-8 kg.m²/s²

Hubungan diantara momen kakas  yang dipakaikan dan sudut puntir  adalah   

Nilai k dan nilai  pada penyimpangajn maksimum.

Momen kakas berasal dari gaya-gaya gravitasi yang dikerahkan oleh bola-bola besar pada bola-bola kecil. Momen kakas akan mempunyai nilai maksimum untuk suatu jarak pemisah yang diberikan bila garis yang menghubungkan titik titik pusat bola bola adalah tegak lurus pada tongkat .Gaya pada setiap bola kecil adalah

dan lengan momen untuk setiap gaya adalah setengah dari panjang tongkat (.maka,

momen kakas = gaya x lengan momen.

atau

 

dengan menggabungkan hasil  maka kita mendapatkan =

 

G = 6,67 x 10^-11 N.m²/kg²

Gaya gravitasi yang besar dikerahkan oleh bumi pada semua benda di dekat permukaannya adalah disebabkan oleh massa bumi dari hukum gravitasi universal dan nilai G yang dihitung dari eksperimen Cavendish. Pengukuran G oleh Cavendish telah diulang oleh para pembuat eksperimen lain dengan berbagai perbaikan. Dalam salah satu variasi, timbangan torsi digunakan sebagai osilator, dan periode osilasi, yang tergantung pada gaya tarik massa-massa yang berdekatan diukur. Dalam eksperimen lain, massa-massa yang tarik menariok digerakkan maju mundur mengelilingi timbangan, torsi dalam resonansi dengan osilasi dengan amplitudo getaran diukur. Pada cara lain, G ditentukan dengan mengukur efek massa besar yang menarik salah satu massa dari timbangan karena lengan yang sangat peka. Semua pengukuran G adalah sulit karena tarikan gravitasi yang sangat lemah. Akibatnya, saat ini nilai G diketahui hanya dengan ketidak akuratan  . walaupun G adalah satu konstanta fisika pertama yang pernah diukur, namun rendah akurasinya.

CONTOH SOAL

Massa pada peralatan cavendis adalah m₁= 10kg dan m₂ = 10 g ,jarak pisah antara pusat pusatnya adalah 5cm,dan batang yang memisahkan kedua massa yang kecil panjangnya 20 cm?

(A) Berapakah gaya tarik antara massa yang besar dan massa yang kecil

(B)  Berapa torsi yang harus diberikan oleh gantungan untuk mengimbangi gaya gaya ini?

Penyelesaian

Diket : m₁ = 10kg

            m₂ = 10g = 0,1 kg

              r = 5cm = 0,5m,    d= 20 cm = 2 m

ditanya: (a)  F....?

              (b)  .....?

Jawab :

(a)      

                 

    

    = 26,68 x 10^-11

    = 26,68 x 10^-10 N

(b)  

   = 26,68 x 10^-10 x 2

    = 5,336 x 10^-10 Nm

5. PERCEPATAN GRAVITASI

Percepatan gravitasi di permukaan bumi secara rata-rata dikatakan ekivalen dengan 1 g yang didefinisikan bernilai 9,8 m/s2.  Kenyataannya, nilai gravitasi (g) sedikit berubah dari satu titik ke titik lain di permukaan bumi, dari kira-kira 9, 78 m/s² sampai 9,82 m/s². Beberapa faktor yang mempengaruhi hal tersebut antara lain:

1)         Bumi kita tidak benar-benar bulat, percepatan gravitasi bergantung pada jaraknya dari pusat bumi (planet).

2)         Percepatan gravitasi tergantung dari jaraknya terhadap permukaan bumi. Semakin tinggi sebuah benda dari permukaan bumi, semakin kecil percepatan gravitasi.

3)         Percepatan gravitasi bergantung pada planet tempat benda berada, di mana setiap planet, satelit atau benda angkasa lainnya memiliki gravitasi yang berbeda

Nilai g dapat diukur dengan berbagai metoda. Bentuk-bentuk paling sederhana misalnya dengan menggunakan pegas atau bandul yang diketahui konstanta-konstanqtanya. Dengan melakukan pengukuran dapat ditentukan nilai percepatan gravitasi di suatu tempat, yang umumnya berbeda dengan tempat lain.

Dalam bidang fisika bumi dikenal pula metoda gravitasi yaitu suatu metoda pengukuran perbedaan percepatan gravitasi suatu tempat untuk memperkirakan kandungan tanah yang berada di bawah titik pengukuran. Dengan cara ini dapat diduga (bersama-sama dengan pemanfaatan metoda fisika bumi lainnya) struktur dan juga unsur-unsur pembentuk lapisan tanah yang tersusun atas elemen yang memiliki rapat massa yang berbeda-beda.

6. KUAT MEDAN GRAVITASI

Gaya gravitasi merupakan gaya interaksi antara dua benda atau lebih tetapi benda benda tersebut tidak saling bersentuhan. Hal ini dikarenakan adanya suatu medan gravitasi yang bekerja pada benda tersebut.

Medan dapat didefinisikan sebagai daerah pengaruh dari suatu besaran fisis yang mengerjakan gaya pada entitas yang sesuai bila entitas itu berada dalam daerah itu, dalam hal ini entitas untuk gaya gravitasi adalah massa.

Sedangkan medan gravitasi didefinisikan sebagai ruang di sekitar suatu benda bermassa m di mana benda bermassa lainnya dalam ruang itu akan mengalami gaya gravitasi.

Medan gravitasi sering digambarkan dengan garis-garis medan gravitasi yang merupakan garis bersambungan yang selalu berarah menuju ke massa sumber medan gravitasi itu, sehingga jika garis-garis medan gravitasi itu rapat menunjukkan makin besar medan gravitasinya.

Besaran yang mewakili medan gravitasi adalah kuat medan gravitasi (g) yang didefinisikan sebagai gaya gravitasi per satuan massa pada suatu massa uji M. Kuat medan gravitasi ini disebut juga dengan percepatan gravitasi.

Misalkan gaya gravitasi yang dikerjakan oleh benda bermassa M pada benda bermassa m besarnya adalah:

 Dari definisi kuat medan gravitasi (g) didapatkan:

 Seperti halnya gaya gravitasi, kuat medan gravitasi suatu benda juga dapat dipengaruhi oleh beberapa benda bermassa M sekaligus, dan perhitungannya juga sama yaitu dengan menggunakan kaidah besaran vektor.

  Perbandingan percepatan gravitasi di suatu titik di atas permukaan bumi yang berjarak h (misalkan titik B) dengan percepatan gravitasi di permukaan bumi (misalkan titik A) dapat dihitung dengan :

 

Oleh karena r_B = r_A + h (dimana r = jari-jari bumi) maka:

7. MASSA GRAVITASI DAN MASSA INERSIA

Pengalaman sehari-hari menunjukkan bahwa benda yang lebih berat, untuk mengubah keadaan gerak lebih sulit.  Ini berarti bahwa kualitas tarikan gravitasi objek tersebut semakin besar semakin besar massa inersia, eksperimen menunjukkan bahwa massa gravitasi berbanding lurus dengan massa inersia.

• Massa gravitasi adalah sifat benda yang bertanggung jawab terhadap gaya gravitasi yang dikerjakan pada benda lain.

·         Massa Inersia adalah sifat benda yang merupakan ukuran resistensinya terhadap percepatan.

·         Simbol untuk keduanya sama yaitu m, karena secara eksperimen, massa inersia gravitasi dan massa inersia adalah sama.

Gaya gravitasi pada sebuah benda adalah sebanding dengan massanya. Suatu konsekuensi penting dari kesebandingan ini adalah bahwa kita dapat mengukur sebuah massa dengan mengukur gaya gravitasi pada massa tersebut. Misal jika kita mencoba mendorong sebuah balok yang diam pada sebuah permukkaan horizontal yang tanpa gesekan , maka butuh usaha untuk mengerakan massa tersebut. Balok tersebut kelihatannya lamban dan cenderung untuk tinggal diam atau jika balok tersebut bergerak maka balok tersebut cenderung untuk tetap bergerak. Dalam hal ini gravitasi tidak berperan sama sekali. Usaha yang sama akan dipperlukan untuk mempercepat balok tersebut didalam ruang yang bebas gravitasi. Massa balok tersebutlah yang membuat sebuah gaya yang mengubah geraknya. Massa ini adalah massa yang terdapat dalam massa inersial F= m.a

Sekarang misalkan kita memnrlukan usaha untuk memegang balok tersebut  didalam udara dan dipegang diam diatas bumi. Jika kita tidak menompangnya , maka balok tersebut akan jatuh ke bumi dengan gerak yang dipercepat. Gaya yang diperlukan untuk menahan  balok tersebut adalah sama besarnya   dengan gaya tarikan gravitasi diantara balok tersebut dan bumi. Disini massa inersial tidak berperan  sama  sekali dan hanya gravitasi yang berperan. Sehingga besar gaya tersebut adalah:

Dengan m’ adalah massa gravitasi balok

 Apakah massa gravitasi dan massa inersial besarnya sama..?

Misal : tinjaulah dua partikel A dan B yang mempunyai massa gravitasi m’A dan m’B  dan beraksi partikel ketiga C yang mempunyai massa gravitasi m’ C. Misalkan partikel  C tersebut berada pada jarak r yang sama dari kedua partiel A dan B. Maka gravitasi yang dikerahkan pada C oleh A adalah :

Dan gaya gravitasi yang dikerahkan pada C oleh  B adalah:

 

Perbandingan gaya- gaya gravitasi pada A dan B adalah perbandingan massa –massa gravitasinya,yaitu :

Misalkan benda ketiga adalah C adalah bumi, maka dan  adalah berat benda A dan berat benda B, maka:

Sehingga kita dapat disimpulkan bahwa berat berbagai benda  di tempat yang sama pada bumi, adalah sebanding dengan massa gravitasinya.

Secara eksperimental kita dapatkan bahwa benda-benda yang mempunyai massa-massa inersial yang berbeda semuanya jatuh dengan percepatan g yang sama yang berasal dari tarikan gravitasi bumi. Tetapi tarikan gravitasi bumi pada benda-benda ini adalah berat benda, sehingga dengan menggunakan hukum kedua mengenai gerak maka :

     W_A = m_A.g

     W_B = m_B.g

Dengan mudah dapat kita bayangkan bahwa massa gravitasi dan massa inersia sebuah benda tidaklah sama. Misalkan dituliskan untuk massa gravitasi dan m untuk massa inersial, maka gaya yang dikerjakan oleh bumi pada benda dari di dekat permukaannya adalah

Dengan  adalah massa gravitasi bumi. Jadi percepatan jatuh bebas benda-benda di dekat permukaan bumi adalah.

Contoh Soal

Berat sebuah benda standart yang didefinisikan sebagai benda yang mempunyai massa yang tepat 1kg,diukur sama dengan 9,81N .dalam laboratorium yang sama benda kedua beratnya 56,6N.

a.berapakah massa benda kedua?

b.apakah massa yang anda tentukan dibagian (a) massa gravitasi atau massa inersia ?

penyelesaian

diket:  m₁=1kg

          W₁= 9,81N

          W₂= 56,6N

Ditanya m₂=.......?

Jawab = a.               m2= 5,77 kg

Jawab =

b. massa gravitasi

8.    ENERGI POTENSIAL DAN ENERGI TOTAL GRAVITASI

Energi potensial yaitu Energi yang berhubungan dengan posisi.sedangkan energi potensial gravitasin adalah suatu besaran baru sebagai hasil kali antara gaya berat mg dengan ketinggian y diatas titik pusat koordinat (U).

Sehingga:

U = mgy

 Nilai awal energi potensial dinyatakan sebagai U₁= mgy_1,sedangkan nilai akhirnya adalah U₂ = mgy₂. Perubahan tenaga potensial ∆U dari suatu system dimana di dalamnya beraksi sebuah gaya konservatif (gravitasi). Sewaktu system tersebut berubah dari konfigurasi a ke konfigurasi b, dapat ditulis sebagai:

 

Dimana:

 adalah kerja yang dilakukan oleh gaya konservatif tersebut sewaktu system berubah.tanda negatif didepan W₁₂ memiliki makna yang sangat penting.jika benda naik,maka usaha yang dilakukan oleh gaya berat bernilai negatif,karena arah gaya berlawanan dengan arah perpindahan.namun ketika benda naik,y akan semakin besar,akibatnya energi potensial gravitasi akan bertambah(∆U.Begitu pula sebaliknya,pada saat benda turun,usaha gravitasi positif ,namun karena y berkurang ,maka energi potensial gravitasi juga berkurang (∆U jadi jika W₁₂ positif,maka ∆U negatif , begitu sebaliknya.

Tenaga potensial system di dalam setiap konfigurasi b yang seberang adalah

Energy potensial gravitasi sebuah benda bermassa m pada jarak r dari pusat bumi diberikan oleh

Dimana U=0 saat r =  . Dengan

Jika sebuah benda diberi energi kinetik awal dipermukaan bumi yang lebih besar atau sama dengan , maka benda akan lepas dari bumi. Bila energi potensial gravitasi sama dengan 0 untuk jarak pisah benda-benda tak terhingga, untuk system dua benda pada umumnya yang terdiri dari satu benda bermassa m dan benda lain bermassa M. Perubahan energy potensial bila system bergerak dari jarak pisah r₁ ke jarak pisah r₂ maka

                                                

Dengan r₂ = r   , r_{1 = ,} maka

                                     

Jadi, dengan memilih U sama dengan nol pada r =, didapatkan

Berdasarkan teorima usaha energi, perubahan energi kinetik benda tersebut diberikan oleh:

                                                W_tot = K₂ – K₁

Jika hanya gaya gravitasi yang bekerja pada benda, maka usaha total menjadi:

                                   

Dengan menyamakan kedua persamaan tersebut , maka diperoleh

Persamaan tersebut dapat dituliskan :

                                                K₁ + U₁=K₂ + U₂

Atau

Penjumlahan Energi kinetik dengan energi potensial didefinisikan sebagai energi mekanik total(E). Dengan demikian dapat dikatakan bahwa persamaan di atas merupakan bentuk Hukum Kekekalan Energi untuk sebuah sistem dimana hanya gaya gravtasi yang bekerja.

                                                E=K + U = Konstan

Contoh Soal

Sebuah satelit bermassa 450kg mengelilingi bumi dalam lintasan lingkaran pada jarak 6,83 mm diatas permukaan bumi,carilah

a.energi potensial

b.energi kinetik

c.energi total satelit

penyelesaian

a.jarak antara satelit dan pusat bumi adalah

r  = R_E+h = 6,37 mm + 6,38 mm =13,2

                     = -13,6 GJ

 

 E = K + U= 6,80 + (-13,6) = -6,80 GJ

E = -K